物理の休符

物理に関するあれこれ

フーリエ展開

今回はフーリエです

(日本人もたまには頑張れ)


テイラー多項式での展開でした

(微分できればテイラー展開はできるね)


多項式で展開できるなら他の関数でも展開できるんじゃないかな

と思ったのがフーリエさん

(余計なことしやがって)


でもフーリエ展開のおかげで音楽ファイルが圧縮できるんだよ?

(圧縮しなくていい。CDでwave音源を聞く)


ギターのエフェクターとか

(クリーントーンが好き)


こだわりがつよい………












さて

多項式関数の代わりに使うのがサインコサイン

(三角関数?)


その通り

(音は波だもんね)


多項式の場合は

「1, x, x^2, x^3, …」

を使って展開してました

(「a+bx+cx^2+dx^3+…」だと仮定するんだったっけ)


そう

ベクトルっぽいよね

(?)


いや

なんか「1」とか「x」とか「x^2」とかが一次独立なベクトルみたいしゃない?

(べつに)


ほら

「a×ベクトル+b×ベクトル+c×ベクトル」

でいろんなベクトルを表してたみたいに

「a×関数+b×関数+c×関数」

でいろんな関数を表してるし

(でもベクトルは3本までなのに関数は∞本とってるやん)


まぁまぁ

そこはおいといて

(大事やろ……)












さて

今回はサインコサインを使って展開しましょう

(「a×サイン+b×コサイン」とか?)


あー惜しい

「sin x, cos x」

も使うけど

「1, sin2x, cos2x, sin3x, cos3x, …」

っていうベクトルを使います

(惜しくないし……ってかベクトル?)


普通に間違えた

(しっかりしろよ)


まぁベクトルみたいなもんやん?

(ぜんぜん)


(ってか「1」も入れるの?)


「sin0x=0」は使い物にならないけど「cos0x=1」は使えそうだからね

(sinがかわいそう…)












とりあえず関数を

「a+b sin x+c cos x+d sin2x+e cos2x+…」

とおくことにしよう

(なんかきたないなぁ…)


これがスマホの限界なのよ…

(係数はどうやって決めるの?)


前回はどうしてた?

(どうしてたっけ?)


わすれちゃったか……

(てへぺろ)













前回微分してたのは何でだっけ?

(んーなんでだっけ?)


係数を求めるために微分して「x=0」を代入してました

(ああ、そうだったそうだった。多項式だから全部消えるんだよね)


その通り

今回も"求めたい係数以外全消し"をしたいと思います

(また微分かしら)


三角関数だから微分じゃ消えないんだなー

(じゃあ積分!)


おぉっ!正解!

(やった!当たった!)


当てずっぽうだったのか……

(で、何で積分?)


サインコサインは周期的だからね

積分したら面積ゼロなのよ

(なるほど!)


今のでわかった?

(x軸をまたいでふらふらしてるから大体ゼロってことでしょ?)


うーん……そうなんだけど

本当にわかってるのかなぁ……














(あれ?でもよく考えたらサインコサインって積分したら全部ゼロじゃない?残らなくない?)


いい質問だね!

確かに「1」は積分で残るけど他のサインコサインは全部消えちゃうよね

(でも方法があるんでしょ…?)


そうなの!

(やっぱりー!)


試しに「sin x」の係数を求めてみよう!

(おー!)


テンション高いな!

(夜中テンション!)


夜中なの?

(原稿を夜中に書いているからね)


メタ発言………












さて、「sin x」の係数を求めるには「sin x」を掛けてから積分します!

(………え、そんだけ?)


そんだけ!

(そんなん掛けてどうなるの?)


まぁやってみようぜ

(「sin^2 x=(1-cos2x)/2」だから…)


(あっ!1/2のところが残りそう!)


その通り!

自分自身を掛けることで定数が出てくるんだね!

(………でもさー、「sin x」を両辺に掛けたとして他の関数って消えるの?)


ん?どゆこと?

(いや、だから「sin x×sin2x」の積分とかが全部ゼロじゃないと係数が出ないでしょ?)


あー!

そういうこと

ちゃんと消えるからやってみ

(ほんまかいな………えーと、「sin x×sin2x=-(cos3x-cos(-x))/2」で………って消えるやん!)


やから言ったのに!

(うるさい!)


すいません!!

(許そう)












というわけで、まとめ

フーリエ展開とは"関数をサインコサインで近似"することであって、まず「a+bsin x+ccos x+dsin2x+ecos2x+…」と"仮定"、係数は"自分自身を掛けて積分"すれば求まるんだね

(もう眠たいね…………あ、そういえば積分積分言ってたけど不定積分なん?定積分なん?)


それを言ってなかったな……

(定積分でしょ)


そうです

(そして区間は周期的なんでしょ)


うん

(たとえば「-πからπ」なんでしょ)


もう俺いらんやん

(帰って!)


ばいばーい

(ばーい)


テイラー展開

テイラー展…

(帰る)


ちょっと!!!

せめてタイトルくらい聞いていこう!!

(どうせ難しいんでしょ)


そうでもない!そうでもないから!

(高校の知識でわかる?)


わかるわかる!!

(じゃあちょっとだけ聞いてあげる)


やったぁ!!!

ということで今回はテイラー展開です













テイラー展開って何のためにするか知ってる?

(しらなーい)


実は近似の式なのですよ

(ふーん)


興味が無さすぎる!!

(だって近似なんてしないし)


いやいや、物理でもよくやるよ?

有名なのは光の干渉の計算

(あぁーやったことあるようなないような)


たとえば、

「(1+0.01)^100」って大体いくつ?

(「^」ってなに)


あぁ、これは「^100」が100乗を表すんだね

(ちょっとまって…電卓だすから)


ってなったとき!

実は手計算でもおおまかな値がわかっちゃうんです!

(2.704813829421526…)


そこ!電卓で計算しない!














今回使うのは…

"二項定理"です!!

(聞いたことあるようなないような…

やっぱりないか)


諦めないで!!

ある!!聞いたことある!!

(なんか「x+y」をn乗するやつ)


そう!展開公式のひとつです!

これを使ってテイラー展開をしてみよう!!

(で、テイラー展開って何なの?)


ある関数の値がわかっているとき、その近くでの関数形を多項式近似すること

(                 )


…………あれ??

帰らないで!ごめん!!!

わかりやすく説明するから!!

(ジト目)


あなたは山の中で迷子になりました

日も暮れ、あたりは真っ暗

かろうじて足元の傾斜は見えるけど周りの様子は皆目見当がつかない状態です

そんなとき、あなたにテイラー展開の能力が不意に目覚めると、足元の地面の様子だけで山の全体像が把握できてしまうのです!!!

(何を言っているんだ)


まぁ、簡単に言ってしまえば

"どんな関数でも多項式関数にできる"

ってことなんだわ

(それはすごいわ)


でしょ?













さて、二項定理を使ってさっきの

「(1+0.01)^100」

を展開してみましょう

(めんどくさいなぁ…)


いくつかの項だけでいいよ

(さいしょは1だよね)


そうだね

(次が「100C1×1^99×0.01^1」で…)


いま思ったけどこれめっちゃ読みづらいな

(んーと…あ、これも1やわ)


足したら2だね

(まだやるの?)


ここまででも正しい解「2.704813829421526…」に結構近づいてきてるね

(ん…そうかな…?)


もう1項だけやってみようか

(「100C2×1^98×0.01^2」だから…)


ふむふむ

(あれ…?「0.495」?突然小数に…)


おっけー!

足すものがどんどん小さくならないと2.7に近づかないからね

(あ、そうかも)


これで「2.495」とだいぶ近づいてきました

もし次をやると「0.1617」が出てきて「2.6567」

さらにもう1項進めると「0.03921225」が出てきて「2.69591225」

(手計算じゃ無理)


でも正しい解が得られそうなのはわかるでしょ?

(けどさーこれって関数なの?)


そう、いいところに気がついたね!

(言い方がむかつく)


いまのは関数の"値"でした

次は関数そのものを近似していきます

(つらい)













さっきの「(1+0.01)^100」は「(1+x)^100」に「x=0.01」を代入したものでした

(え、そうなの??)


実はそういう意図があったんです

(ふーん)


そこでこんどは「x」のまま展開してみましょう

(代入せずに?)


そうです

(うわぁ…めんどくさ……くもないか)


うん

さっきと同じ二項定理だからね

(何なら数字計算しなくていいから楽かも)


答えでた?

(ちょっと待って!えーと頭は「1」でいいし…次は「100x」で…次はめんどくさいなぁ…んーと「4950x^2」かな)


そうそう

そんな感じで展開できるね

結果としては

「(1+x)^100=1+100x+4950x^2+161700x^3+…」と続きます

(ふーん……あれ?これ多項式になってる…?)


そう!その通り!!多項式関数に近似出来ました!

(まぁもっと序盤に気づいてたけどね)


気づいてたんかい!

(話を盛り上げるための演出)


ありがとうございます……












(けどさー…「(1+x)^n」タイプのやつが展開できるのはわかったけど普通の関数は近似できなくない?)


そうだね

(嘘つき!!)


いまのは"関数が多項式で近似できる"っていうのを実感してほしくてやってもらったのでテイラー展開ではありません

(おい)


では早速テイラー展開に取り掛かりましょう!

(いままでのは何だったの…)













「e^x」をテイラー展開します!

(やだ。やりたくない。)


できたとしましょう!

「e^x=a+bx+cx^2+dx^3+…」

です!!

(大胆すぎかよ)


仮定だからいいの!

じゃあまずaを決めてみて!

(……え?あたしがやるの?)


そうだよ?

(説明ヲ求ム)


えーーー

何でもすぐ聞くのは良くないぞ

(にしてもやろ)


じゃあヒント!

xに数字を代入します!

(なにをやねん)


それを考えてみて

(えぇー…………うーーーー…………………………)


どう?わかった??

(はっ……!ごめん考えてなかった!)


考えてよ!

(ぼーっとしてた)


ほら

数字に関するヒントがないってことは簡単な数字ってことでしょ??

(0, 1, -1あたりかな)


でしょ???

(じゃあ一番楽な0を入れて…と)


(あ、でたやん)


答えは?

(a=1!)


その「!」は階乗の「!」かな

それとも驚きの「!」かな

(しょーもないこと言ってないでさっさと進めろ)


正解!

じゃあ次!bを求めて!

(無理!)


いい返事!

……いやぁ…ちょっとは考えてよ

(そもそも私はテイラー展開なんかどうでもいいのにどうしても教えたいっていうから聞いてあげてるんだよ?それなのにそんなに言うならもう帰るよ?)


……ごめん悪かったよ……

(わかればよろしい)


「e^x=a+bx^n+…」からaを消したかったらどうするか

(連立方程式で1文字消去?)


それもあるけど

もっとサクッと定数を消せる演算

(わかんないなー)


数Ⅱで習うよ

(んー??なに??)


微分でした!!

(んー??)


や、だから、両辺を微分するんだってば

(なんの?)


「e^x=a+bx^n…」の!

(ふむふむ)


してみて!

(しょーがないなー)


(「e^x=b+2cx+…」かな)


いいね

bをだすには?

(代入)


正解

(「b=1」だね)


ということは

「e^x≒1+x」

ってことだね

(うそやん)


ほんとだよーー

試しにグラフを描いてみようか

(…………いや、全然ちゃうやん)


そんなことないさ

x軸付近をみてみて

(まぁ、ここは近いけどそれが何?)


これが"近似"だよ

(は?)


いや、だからx=0の近くでは割と"いい線いってる"よね

(いい加減だなぁ)


もっと近づけるためには展開をさらに進めればいいね

(もう1回微分すると「e^x=2c+6dx+…」だから「c=1/2」)


つまり

「e^x≒1+x+1/2x^2」

となるわけ

さっきは1次関数で近似してたけど今度は2次関数で近似することになる

(グラフもちょっとましになった)


この調子で進めると

「e^x=1+x+1/2x^2+1/6x^3+1/24x^4+…」

とできます

(まぁ…そうかもね)


微分するだけならどんなに難しい関数でもできるからテイラー展開はあらゆる関数に使えるわけだね

(あ、いまのがテイラー展開なの?)


何だと思って聞いてたの…………












今日のまとめです

テイラー展開とは"あらゆる関数を多項式関数で近似すること"

その方法は"多項式で近似できると仮定"して"両辺を微分"すること

なんだね

(燃え尽きたよ……)


電流も磁場をつくる

磁場をつくるのは何?

(電流だってタイトルに書いてある)


そういうことじゃなくて……

ふつう磁場をつくるのは磁石だよね

(そうかも)


なんと電流も磁場をつくるのです!

(タイトルに書いてあるじゃん)


まぁそうなんだけどね

前回の復習、磁場とは何ですか!

(向きと大きさをもつベクトル場)


正解!

だから電流がつくる磁場の"向き"と"大きさ"が問題になるわけ

(わかった!フレミングやろ!)


ちょっと待って

順番に話すから……













まずは磁場の向きの求め方から

といっても出てくるのは3パターンしかないからあんしんしてね

(不安しかない)


まずは直線電流!

まっすぐに電流が流れてます

(まわりにぐるぐるの磁場が出来るんだよね)


その通り

直線電流のまわりには同心円状にまぁるい磁場ができます

(どやぁ)


ではその回転方向は?

(え、回転してるの?)


回転、というか矢印の向きかな

磁場だから向きを決めないと

(わからん)


レミングと対にして覚えてるかも

(あぁ、もしかして右ねじ?)


その通り!

"右ねじの法則"は直線電流まわりのまるい磁場の回る向きをを決められます

(親指が電流で他が回転かな)


その通り!

では問題です。鉛直上向きに流れる電流の右側に置いた方位磁針はどちらを向くでしょう?













(コンパスを通る円を考えて右ねじで回転方向を決めると……)












(手前から奥!)


正解!!

(やった!)













直線電流の次は円形電流のつくる磁場の向きを決めます

(ややこしそう…)


直線電流をそのまままるっとまるめたものが円形電流になります

(どうなるの??)


直線電流まわりに筒状の磁場が出来るのはさっき言ったけど

直線電流を途中で切ってくるっとまるめるとどうなる?

(ドーナツみたいな?)


そうですね

円形電流のまわりにはドーナツ状の磁場が生じます

(直線電流よりむずかしいなぁ)


ぶっちゃけると聞かれるのは円の中心だけなんだけどね

(中心にも磁場ができるの?)


あぁ、確かにドーナツっていうと真ん中は空洞か

まぁ、教科書の絵を見てくれ

(めんどくさがりかよ)


とにかく、聞かれるのは円の中心だけです

こまの軸みたいに円を貫く磁場ができるんですね

(直線電流は丸い磁場を、丸い電流は直線磁場をつくるのか、こんがらがりそう)


あとは向きを決めたらおしまい

これは何を使う?

(右ねじはさっき使ったからフレミング!)


ぶぶー!

(言い方むかつく)


実はこれも右ねじの法則で解決します

(なんで???)


これは"たまたま"です

偶然ですね

(えぇ〜〜〜)


まぁまぁ

1度で2度おいしい法則ということですね

(二兎を追う者は一兎をも得ず、だよ)


……とりあえず

右ねじの法則で"円の中心の"磁場の向きが決まります

(こんどは電流が丸いから親指が磁場ってことになるのかな?)


その通り。

直線電流のときとは逆になるね

(なんか嘘くさいなぁ)


円の中心以外は聞かれないから、ドーナツのイメージだけ持っておいて

(おなかすいてきた)













さいごは円形電流を積み重ねたもの

(コイル!)


コイルともいうね

あるいはソレノイドとも

(コイルでいいやろ…)


コイルの磁場は円形電流を重ねたものだからイメージしやすいかな

(棒磁石みたいな形になるんだよね)


そうです!

そして円形電流を積み重ねたということは、聞かれるのはソレノイド内部、中心の磁場だけなんですね

(ソレノイドにこだわるなぁ)


この向きを決めるのはもちろん?

(………右ねじ?)


その通り!!!!

(テンション高いなぁ…)


二度あることは三度ある!

(仏の顔も三度までともいうよ)













きょうのまとめ!

磁場をつくるのは?

(磁石と電流)


電流のつくる磁場の問題で聞かれるのは?

(向きと大きさ)


磁場の向きを決めるのは?

(右ねじの法則)


ということで、お疲れ様でした

(おつー)


磁場

磁場って何?

(わかんないから聞いてるんだけど?)


なら聞き方を変えて…

棒磁石のまわりに曲線が何本も引いてある絵みたことある?

(ない)


ないかぁ……

じゃあちょっと教科書開いてみて

磁場の最初にだいたいのってる

(あぁこれはみたことある)


よし、それが磁場だ!

(??)


はぁ?って感じだよね

みんなここで磁場がわかんなくなる

(いいから早く説明しろよ)


この線は"向き"をあらわしてます

線をよくみると矢印がついてるはず

(たしかに)


磁場には"向き"があるんですね

コンパスはこの向きを調べてます

(北を向くんじゃなくて?)


地球にはめちゃくちゃ大きな棒磁石がひとつ埋まってるの

(うそつけ)


まぁ確かに嘘だけども

もし埋まってるとしたらN極ってどこだと思う?

(N極は北でしょ)


ほんとに?

じゃあ棒磁石の絵をもう1回見てみて

矢印はどっち向いてる?

(S極の方)


コンパスって北と南どっち向いてる?

(北)


つまり???

(北にS極、南にN極)


そうなの!!!

(まぁ知ってたけどね)


知ってたんかい!!!!













……ともかく

磁場には"向き"があるのはOK?

(おっけー)


けど磁場には"大きさ"もある

(よくわかんないまま計算させられたわぁ)


"大きさ"あるいは"つよさ"でもいいけど、

磁場にはとにかく"向き"と"大きさ"があるわけ

(ふむふむ)


そういう量といえば!

(??)


"向き"と"大きさ"のある量は?

(??)


んーと……

"大きさ"だけならスカラー

"大きさ"と"向き"なら?

(ベクトル)


その通り!

(まぁ知ってたけどね)


知ってたんかい!!!













…よし、まとめよう

結局のところ磁場は"向き"と"大きさ"をもつ"ベクトル場"なんだね

(ベクトル場?)


矢印が床に敷き詰められている様子を想像してみて

RPGでよくある矢印タイルの床でもいい

(うん)


それがベクトル場

場所を決めればベクトルがひとつ定まる関係のこと

(うん?)


床の上を適当に歩くと自分のいる場所によって矢印がひとつ決まるでしょ?

(足元の矢印のこと?)


そう

場所をきめると"向き"と"大きさ"がきまる関係をベクトル場とよんでいるんだね

(場所を決めると大きさだけ決まるならスカラー場かな?)


その通り!

例えば温度は場所によって"大きさ"が決まる量だよね

だから場所と温度の対応関係のことを温度場といったりする

(じゃあ場所によって圧力が決まる関係は圧力場みたいな?)


そうだね

圧力は"向き"がないからスカラー

重力は力だから"向き"があって、重力場はベクトル場ということになるね

(頭がぷすぷすしてきた)


このあたりは分からなくても大丈夫

とにかく今回覚えて欲しいのは






「磁場は場所によって"向き"と"大きさ"が決まる」






ということなのね

おつかれさま

(ばいばーい)