フーリエ展開
今回はフーリエです
(日本人もたまには頑張れ)
多項式で展開できるなら他の関数でも展開できるんじゃないかな
と思ったのがフーリエさん
(余計なことしやがって)
でもフーリエ展開のおかげで音楽ファイルが圧縮できるんだよ？
(圧縮しなくていい。CDでwave音源を聞く)
ギターのエフェクターとか
(クリーントーンが好き)
こだわりがつよい………
さて
多項式関数の代わりに使うのがサインコサイン
(三角関数？)
その通り
(音は波だもんね)
多項式の場合は
「1, x, x^2, x^3, …」
を使って展開してました
(「a+bx+cx^2+dx^3+…」だと仮定するんだったっけ)
そう
ベクトルっぽいよね
(？)
いや
なんか「1」とか「x」とか「x^2」とかが一次独立なベクトルみたいしゃない？
(べつに)
ほら
「a×ベクトル+b×ベクトル+c×ベクトル」
でいろんなベクトルを表してたみたいに
「a×関数+b×関数+c×関数」
でいろんな関数を表してるし
(でもベクトルは3本までなのに関数は∞本とってるやん)
まぁまぁ
そこはおいといて
(大事やろ……)
さて
今回はサインコサインを使って展開しましょう
(「a×サイン+b×コサイン」とか？)
あー惜しい
「sin x, cos x」
も使うけど
「1, sin2x, cos2x, sin3x, cos3x, …」
っていうベクトルを使います
(惜しくないし……ってかベクトル？)
普通に間違えた
(しっかりしろよ)
まぁベクトルみたいなもんやん？
(ぜんぜん)
(ってか「1」も入れるの？)
「sin0x=0」は使い物にならないけど「cos0x=1」は使えそうだからね
(sinがかわいそう…)
とりあえず関数を
「a+b sin x+c cos x+d sin2x+e cos2x+…」
とおくことにしよう
(なんかきたないなぁ…)
これがスマホの限界なのよ…
(係数はどうやって決めるの？)
前回はどうしてた？
(どうしてたっけ？)
わすれちゃったか……
(てへぺろ)
前回微分してたのは何でだっけ？
(んーなんでだっけ？)
係数を求めるために微分して「x=0」を代入してました
(ああ、そうだったそうだった。多項式だから全部消えるんだよね)
その通り
今回も"求めたい係数以外全消し"をしたいと思います
(また微分かしら)
(じゃあ積分！)
おぉっ！正解！
(やった！当たった！)
当てずっぽうだったのか……
(で、何で積分？)
サインコサインは周期的だからね
積分したら面積ゼロなのよ
(なるほど！)
今のでわかった？
(x軸をまたいでふらふらしてるから大体ゼロってことでしょ？)
うーん……そうなんだけど
本当にわかってるのかなぁ……
(あれ？でもよく考えたらサインコサインって積分したら全部ゼロじゃない？残らなくない？)
いい質問だね！
確かに「1」は積分で残るけど他のサインコサインは全部消えちゃうよね
(でも方法があるんでしょ…？)
そうなの！
(やっぱりー！)
試しに「sin x」の係数を求めてみよう！
(おー！)
テンション高いな！
(夜中テンション！)
夜中なの？
(原稿を夜中に書いているからね)
メタ発言………
さて、「sin x」の係数を求めるには「sin x」を掛けてから積分します！
(………え、そんだけ？)
そんだけ！
(そんなん掛けてどうなるの？)
まぁやってみようぜ
(「sin^2 x=(1-cos2x)/2」だから…)
(あっ！1/2のところが残りそう！)
その通り！
自分自身を掛けることで定数が出てくるんだね！
(………でもさー、「sin x」を両辺に掛けたとして他の関数って消えるの？)
ん？どゆこと？
(いや、だから「sin x×sin2x」の積分とかが全部ゼロじゃないと係数が出ないでしょ？)
あー！
そういうこと
ちゃんと消えるからやってみ
(ほんまかいな………えーと、「sin x×sin2x=-(cos3x-cos(-x))/2」で………って消えるやん！)
やから言ったのに！
(うるさい！)
すいません！！
(許そう)
というわけで、まとめ
フーリエ展開とは"関数をサインコサインで近似"することであって、まず「a+bsin x+ccos x+dsin2x+ecos2x+…」と"仮定"、係数は"自分自身を掛けて積分"すれば求まるんだね
(もう眠たいね…………あ、そういえば積分積分言ってたけど不定積分なん？定積分なん？)
それを言ってなかったな……
(定積分でしょ)
そうです
(そして区間は周期的なんでしょ)
うん
(たとえば「-πからπ」なんでしょ)
もう俺いらんやん
(帰って！)
ばいばーい
(ばーい)
